Are the results of Feynman's Path Integral really equal to the partition function?

보통 장론을 배우다 보면 path integral formalism이 partition function의 generalization이라고 배운다.

 

하지만 실제 path integral을 계산해보면 어지간해선 엄청 난잡한 꼴이 나오거나 계산이 안 되는 경우가 대부분이다.

 

그럼 이것이 partition function ($=Z$라고 쓰겠음)랑 정말 같은지 확인해볼만한 예시는 없는 것일까?

 

가장 간단히 harmonic oscillator를 보자. 먼저 Z를 계산하면 다음과 같다.

 

 

그리고 $\tau=it$로 identify를 하면 (analytic continuation)

 

path integral formalism에서도 아래와 같은 식을 얻는다. ($\hbar=m=1$로 두겠다.)

 

 

자, 이제 두 가지 방법으로 계산한 Z가 서로 같은지 알아보자.

 

먼저 $x(\tau) = x(\tau+\beta)$인 periodic boundary condition를 impose하게 되면 path integral에서의 계산은 다음처럼 될 것이다.

 

 

periodic function의 정보는 그 Fourier coefficient들의 정보로 완벽하게 결정된다. 따라서 measure와 $x$를 Fourier coef들로 표현해주면

 

 

요로코롬 될 것이다. 그런데 여기서 $x$는 real이다. $x$가 real이려면 위 식에서 $\hat{x}_n=\hat{x}_{-n}^*$가 되므로, Gaussian integral 꼴을 얻게되고

 

Lagrangian은 Euclidean에서 다음과 같이 써질 것이다.

 

$n$이 0일 경우 생각해보자. 단순한 Gaussian integral이다.

 

$n$이 0 아닌 정수일 때 생각해보자. complex Gaussian integral인데, 그냥 아래 식을 받아들이기 힘들다면 measure끼리의 좌표변환을 생각해도 좋다. (Jacobian)

 

 

혹은 미분기하에서 배웠던 것처럼 1-form wedge 1-form 꼴의 좌표변환을 해 보면 다음을 받아들이는 데 어려움이 없을 것이다.

 

그럼 우리는 path integral로 계산한 결과를 다음과 같이 얻는다.

 

 

이 식은 정말로 우리가 맨 위에서 구한 것과 같을까?

 

적당한 야매로 같은 것을 곱해주고 나눠주는 테크닉으로, 일단은 유한해보이는 항을 만들어보자.

 

 

딱 봐도 발산하는 값은 후에 regularize하기로 하고, (혹시나 RG를 배운 사람들이라면 이 무한대를 어떻게 해결할 지 알 것이다.)

 

우선 다음의 (빨간 박스 / 주황 박스) 부분을 보자.

 

 

이 식은 일단 finite하다. 이 함수의 정체가 무엇일까?

 

가만히 보니까, 주기적으로 pole을 가진다.

 

$\beta w / 2 = m \pi i (m \neq 0)$일 때마다 pole을 가지는데

 

우리는 비슷하게 주기적인 실수의 zero를 가지는 함수를 안다. sin cos같은 trigonometric인데,

 

이 케이스는 imaginary 축에 주기적인 pole을 갖는다. 감이 올 수도 있을 텐데... 그렇다. $1/\sinh{x}$ 꼴이면 될 것이다.

 

근데 문제가 있다. $1/\sinh{x}$ 꼴이면 m=0일 때도 pole을 갖는다. 이걸 어떻게 없애줄 수 있을까?

 

단순히 order 1인 pole을 없애주려면 그냥 $x$를 곱해주듯 하면 된다.

 

따라서 다음이 성립한다!

 

 

그렇다면 $1/\Pi_{n>0} (2\pi n / \beta)^2$은 regularization은 어떻게 할 수 있을까?

 

renormalization에서 무한대를 없애는 테크닉 중에 다음의 원리를 이용한 방법이 있다. (사실 그냥 위에서 한 것과 본질적으로는 같다)

 

모든 analytic function은 어떤 accumulation point로 점근하는 무한한 점들의 값을 알면 plane 전체에서의 값을 다 알 수 있다. (정확히는 up to essential singularity)

 

바로 전에 썼던 테크닉이 그 예시이다.

 

우리는 이 발산하는 값을 제타함수로 analytic continuation을 할 것이다.

 

저 값에 로그를 취해보면 $\sum ( \log (n / \beta) )$꼴이다.

 

이것을 계산하는 트릭은 $\zeta(s, q)$를 일단 계산하고 $s$에 대해 미분한 뒤 $s$를 0으로 보내는 것이다.

 

 

이것을 이용하면 우리가 원하는 꼴과 정확히 일치하는 결과를 얻을 수 있다.

 

간단한 계산을 통해 다음을 얻는다.

 

 

이제 우리는 원하는 결과를 얻었다. 이 결과들을 다 때려박자.

 

 

이렇게 path integral을 계산해도 우리가 통계역학에서 배웠던 partition function과 정확히 일치하는 결과가 나오는 것이다!