Physvillain

이 글은 2019.12.10에 작성됨. 원본 : physvillain.blogspot.com/2019/11/complex-analysis-for-electrostatics.html (출처가 명시되지 않은 사진은 직접 그림) Complex Analysis for Physicists (3)과 (4)에서 디리클레 문제와 등각사상을 주제로 다루었었다. 등각인 사상은 Laplace equation을 보존하며, 이 덕분에 우리는 mapping된 w-plane에서도 동등하게 Laplace eq를 풀 수 있었다. (2차원 한정이지만) 그러나 Laplace eq뿐만 아니라 더 확장된 Helmholtz eq 역시 약간의 실마리를 제공하기도 한다.(역시 2차원 한정이다.) $\left( \vec{\nabla}^2 +k^2\..

이 글은 2019.12.06에 작성됨. 원본 : physvillain.blogspot.com/2019/12/complex-analysis-for-physicists-5.html 내용이 많아 크게 두 가지로 나눈다. 다소 필수적인 내용을 [ PART I ]에서, 다소 부수적이고 어려울 수 있는 내용을 [ PART II ]에서 다룬다. [ PART I ] 복소함수의 적분은 정의역이 $\mathbb{C}$이므로 적분영역이 2차원, 즉 경로적분이다. 또, 해석함수의 여러 특징들로부터 2차원 벡터장의 미적분으로 생각할 수도 있으며 $(0,1)^2=(-1,0)$이라는 규칙이 주는 특이한 성질도 있을 것이다. 우리는 주로 $\mathbb{C}$내부의 닫힌 경로 $C$에 대한 적분을 수행할 것이고, 적분 적분하는 영역..

이 글은 2019.11.21에 작성됨. 원본 : physvillain.blogspot.com/2019/11/complex-analysis-for-physicists-4.html (출처가 없는 이미지의 경우 직접 그렸다.) 이전의 글에서 강조했던 것 처럼 복소함수 $w=f(z)$는 사실상 2차원 실평면을 2차원 실평면에 대응시키는, 즉 $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$의 사상(mapping)으로 볼 수 있고, 2차원 벡터장과의 유일한 차이는 $(x,y)=x+iy, \: (i^2=-1)$로 정의한다는 점이 만들어준다. analytic한 함수는 조금 특이한 성질을 가지는데, 그것은 mapping 전후로 각을 보존한다는 것이다. 가장 먼저 등각성에 대해서 살펴보자. 어떤 경..

이 글은 2019.11.17에 작성됨. 원본 : physvillain.blogspot.com/2019/11/complex-analysis-for-physicists-3.html 미적분학에서 $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$와 같은 함수의 미분가능성에 대해서 다루었을 것이다. 복소함수의 경우 $f : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$에 해당하는데, 복소함수의 미분가능성은 $i^2=-1$때문에 $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$인 스칼라장에서의 미분가능성과는 다소 차이를 보인다. 기본적으로 이 포스트에서는 $f : z=(x,\,y)=x+iy \: \rightarrow \: w=(u,v)=u(x,y)+..

이 글은 2019.11.12에 작성됨 원본 : physvillain.blogspot.com/2019/11/advanced-calculus-final-dec-13-2018.html 아래의 풀이는 official은 아니며, 내 머리에서 나온 것이므로 틀린 부분이 있을 수 있습니다. (적분 값 같은 것은 wolfram을 통해 값 대조해 보았음.) 증명문제 같은 경우 그냥 내 방식대로 푼 것이므로 수학적인 엄밀성따위는 존재하지 않을 수도 있습니다. [ Q1 : 30pts ] Evaluate the following integrals : $$(a\: : \:7pts) \:\:\: \int_0^{2\pi} \frac{\sin^2{\theta}}{5-4\cos{\theta}}d\theta$$ $$(b\: : \:7p..