Flat manifold equivalent to vanishing Riemann Tensor?

일반적인 다양체(manifold)에서는 평행이동(parallel transport)을 할 때 궤적에 따라 다른 벡터가 나온다. 궤적에 독립인 connection을 "integrable"하다고 표한한다.

Riemann Tensor의 모든 entry가 0인 것과 manifold가 flat한 것이 동치임을 보이기 위해 다음의 두 가지 Lemma를 증명할 것이다.

1. Riemann tensor가 0인 것은 connection이 integrable한 것과 동치이다.
2. manifold가 flat한 것은 connection이 symmetric이고 integrable인 것과 동치이다.

 

차례로 증명을 해보자. 여기서 쓰인 index는 abstract index가 아니고, component index이다.

\begin{equation*}
    \textbf{(1-1) } \Gamma \text{ is integrable} \rightarrow R=0
\end{equation*}
connection이 integrable하므로 parallel transport된 $X^a(x)$의 방정식은
\begin{equation}
    \frac{D}{du} X^a = \frac{dx^c}{du} \nabla_c X^a = 0
\end{equation}
임의로 $u$를 잡은 것이므로 covariant derivative가 0이다.
\begin{equation}
    \nabla_c X^a=0
\end{equation}
torsion-free connection(symmetric connection)에서
\begin{equation}
    \nabla_{[c}\nabla_{d]}X^a=\frac{1}{2}R^a_{\;\;bcd}X^b
\end{equation}
인데, covariant derivative가 0이므로 이또한 0이다. 그런데 우리는 벡터장 $X^a$를 임의로 택했으므로
\begin{equation}
    R^a_{\;\;bcd}=0
\end{equation}

 

 

\begin{equation*}
    \textbf{(1-2) } R=0 \rightarrow \Gamma \text{ is integrable}
\end{equation*}
아래와 같은 두 경로를 따라 parallel transport시킨다고 생각하자.(Fig 1)

Fig 1. Paths 1 and 2

$\delta x$만큼 평행이동된 $X^a_{||}(x+\delta x)$는 다음을 만족한다.
\begin{equation}
    X^a_{||}(x+\delta x) = X^a(x) - \Gamma^a_{bc}(x) X^b(x) \delta x^c
\end{equation}
이를 이용하여 $X^a(x+\delta x_1 + \delta x_2)$를 계산하면
\begin{align}
    X^a_{||}(x+\delta x_1 + \delta x_2) & = X^a_{||} (x+\delta x_1) - \Gamma^a_{bc}(x+\delta x_1) X^b_{||} (x+\delta x_1) \delta x^c_2 \\
    & = X^a(x)-\Gamma^a_{bc} X^b \delta x^c_1 - (\Gamma^a_{bc} + \partial_d \Gamma^a_{bc} \delta x^d_1)(X^b - \Gamma^b_{ef} X^e \delta x^f_1) \delta x^c_2 \\
    & = X^a(x)-\Gamma^a_{bc} X^b \delta x^c_1 - \Gamma^a_{bc} X^b \delta x^c_2 - \partial_d \Gamma^a_{bc} X^b \delta x^d_1 \delta x^c_2 + \Gamma^a_{bc} \Gamma^b_{ef} X^e \delta x^f_1 \delta x^c_2
\end{align}
마지막 식에서 $\delta^3$ order를 무시했다.
그런데 여기서 path2를 갔다가 path1을 가도 integrable하기 때문에 결과는 같아야 한다.
\begin{equation}
    X^a_{||}(x+\delta x_2 + \delta x_1)  = X^a(x)-\Gamma^a_{bc} X^b \delta x^c_2 - \Gamma^a_{bc} X^b \delta x^c_1 - \partial_d \Gamma^a_{bc} X^b \delta x^d_2 \delta x^c_1 + \Gamma^a_{bc} \Gamma^b_{ef} X^e \delta x^f_2 \delta x^c_1
\end{equation}
둘의 차이 $\Delta$는 0이어야 한다.
\begin{align}
    \Delta & = (\partial_d \Gamma^a_{bc} - \partial_c \Gamma^a_{bd} + \Gamma^a_{ed}\Gamma^e_{bc} - \Gamma^a_{ec} \Gamma^e_{bd})X^b \delta x^c_1 \delta x^d_2 \\
    & = -R^a_{\;\;bcd}X^b \delta x^c_1 \delta x^d_2 = 0
\end{align}

 

 

\begin{equation*}
    \textbf{(2) } \Gamma \text{ is integrable} \Longleftrightarrow \text{our manifold is flat}
\end{equation*}
지점 $P$에서 $n$개의 선형독립인 벡터 $X_i^{\;a}$를 생각하자. $(i=1,2,\cdots,n)$
integrable하므로, parallel transport를 통해 모든 곳에서 서로 선형독립인 벡터장 $X_i^{\;a}(x)$를 construct할 수 있다. 따라서 $X_i^{\;a}$는 singular하지 않고($det X \neq 0$) 따라서 역행렬 $X^i_{\;b}$를 생각할 수 있다.
\begin{equation}
    X_i^{\;a} X^i_{\;b}=\delta^a_b
\end{equation}
이또한 다음 식을 만족할 것이다.
\begin{equation}
    \partial_b X_i^{\;a}+\Gamma^a_{eb}X_i^{\;e}=0 \;\;\;\;\;\;\; \cdots(\star)
\end{equation} 
$\star$에 역행렬 $X^i_{\;c}$를 곱해주고 다음을 얻는다.
\begin{equation}
    \Gamma^a_{cb}=-X^i_{\;c}\partial_b X_i^{\;a}
\end{equation}
식 $\star$을 미분해서 다음을 얻는다.
\begin{equation}
    X_i^{\;a}\partial_c X^i_{\;b}=-X^i_{\;b}\partial_c X_i^{\;a} = \Gamma^a_{bc}
\end{equation}
$\star$로 부터 얻은 두 식과 symmetric connection 조건으로부터 다음을 얻는다.
\begin{equation}
    X_i^{\;a}(\partial_c X^i_{\;b}-\partial_b X^i_{\;c})=\Gamma^a_{bc}-\Gamma^a_{cb}=0
\end{equation}
양변에 $X_i^{\;a}$의 역행렬을 곱해줄 수 있으므로 다음의 curl-free 조건을 얻는다.
\begin{equation}
    \partial_c X^i_{\;b}-\partial_b X^i_{\;c}=0
\end{equation}
curless 벡터장은 어떤 스칼라 함수의 미분이므로 다음과 같이 둘 수 있다.
\begin{equation}
    X^i_{\;b}=\partial_b f^i(x)
\end{equation}
$x^a\rightarrow x'^a = f^a(x)$의 좌표변환을 생각해보면 $X^a_{\;b}$는 다름아닌 좌표변환이다.
christoffel symbol의 좌표변환은 다음과 같다.
\begin{equation}
    \Gamma'^a_{bc}=\frac{\partial x'^a}{\partial x^d} \frac{\partial x^e}{\partial x'^b} \frac{\partial x^f}{\partial x'^e} \Gamma^d_{ef} - \frac{\partial x^d}{\partial x'^b} \frac{\partial x^e}{\partial x'^c} \frac{\partial^2 x'^a}{\partial x^d \partial x^e}
\end{equation}
이 식에 $X_a^{\;h}$를 양변에 취하고 편미분 식을 전부 X와 X의 inverse로 바꿔주면
\begin{align}
    X_a^{\;h} \Gamma'^a_{bc} & = X_a^{\;h}(X^a_{\;d}X_b^{\;e}X_c^{\;f} \Gamma^d_{ef} - X_b^{\;e}X_c^{\;f}\partial_e X^a_{\;f}) \\
    & = \delta_d^h X_b^{\;e}X_c^{\;f}\Gamma^d_{ef} - X_b^{\;e}X_c^{\;f}\Gamma^h_{ef} = 0
\end{align}
마찬가지로 여기에도 $X^p_{\;h}$를 양변에 취해주면 모든 지점에서 $\Gamma'^a_{bc}=0$이 되어 flat함을 보일 수 있고 이 명제의 역도 이 논리의 반대 순서로 간단하게 보일 수 있다.

따라서 두 Lemma를 모두 증명했고 Riemann tensor가 0인 것과 manifold가 flat하다는 것은 동치이다.