Basic Tensor Calculus (3) - Metric

이 글은 2020.01.14에 작성됨.

원본 : physvillain.blogspot.com/2020/01/basic-tensor-calculus.html

 

이제 본격적으로 좌표계를 구체화해보는 과정이다. 일반적인 m차원 unit basis에서 미소변위는 다음과 같이 표기한다.

$$d\overrightarrow{r}=(h_{(1)}d{x}^1,h_{(2)}d{x}^2,\cdots ,h_{(m)}d{x}^m)=\sum _i{h}_{(i)}d{x}^i{\hat{e}}_{(i)}$$

여기서 ${\hat{e}}_{(i)}$는 physical unit basis로, spherical로 치면 $\hat{r},\hat{\theta },\hat{\varphi }$이다. (일반적으로 지금까지 basis라고 칭했던 것들을 생각하면 된다.) physical basis는 covariant하지도, contravariant하지도 않으며, weight function $h_{(i)}$ 역시 마찬가지다. 따라서 이것은 일반적으로 Einstein convention을 따르지 않으며, summation 표시를 취해주었다. 아래 표는 대표적으로 많이 써 왔던 좌표계들에 대한 weight를 보여준다.

Table : Nomenclature for the most common coordinates. (from David A. Clarke (2011). A Primer on Tensor Calculus) (Typo : cylinderical -> cylindrical)

$d\overrightarrow{r}$의 자기자신에 대한 dot product를 취해주면 우리는 coordi-system에 대한 정보로 metric을 얻을 수 있다.

$$d{r}^2=\sum _{ij}{h}_{(i)}{h}_{(j)}{\hat{e}}_{(i)}\cdot {\hat{e}}_{(j)}d{x}^{i}d{x}^j\equiv g_{ij}d{x}^{i}d{x}^j$$

여기서 physical basis의 내적 ${\hat{e}}_{(i)}\cdot {\hat{e}}_{(j)}=\cos {\theta }_{(ij)}$로 흔히 말하던 directional cosine이다. 당연하게도 orthogonal basis면 kronecker delta가 될 것이고 따라서 metric은 diagonal할 것이다.

 

DEF 3.1. The metric $g_{ij}$ is given by $g_{ij}=h_{(i)}{h}_{(j)}{\hat{e}}_{(i)}\cdot {\hat{e}}_{(j)}$, which by inspection, is symmetric under the interchange of its indices.

 

THM 3.1. The metric is a rank 2 covariant tensor.

 

$d{r}^2$은 두 점간의 거리로 좌표변환에 무관한 scalar이다. 따라서

$$d{r}^2={\tilde{g}}_{ij}d{\tilde{x}}^{i}d{\tilde{x}}^j=g_{kl}d{x}^{k}d{x}^l\Rightarrow d{x}^{k}d{x}^l(g_{kl}-\frac{\partial {\tilde{x}}^i}{\partial x^k}\frac{\partial {\tilde{x}}^j}{\partial x^l})=0$$

모든 $d{x}^{k}d{x}^l$에 대하여 성립해야 하므로 metric은 rank 2 tensor의 변환규칙을 따른다.

 

DEF 3.2. The conjugate metric, $g^{kl}$, is the inverse to the metric tensor, then satisfies $g^{kl}{g}_{lq}={\delta }_q^k$.

 

DEF 3.3. A conjugate tensor is the result of multiplying a tensor with the metric, then contracting one of the indices of the metric with one of the indices of the tensor.

 

metric과 tensor의 index가 결합하여 index를 내리거나 올리는데, $p+q=n$인 rank $n$ tensor $T_{i_1\cdots i_p}^{j_1\cdots j_q}$를 예시로 들어보자.

$$g^{k{i}_r}{T}_{i_1\cdots i_p}^{j_1\cdots j_q}=T_{i_1\cdots i_{r-1}{i}_{r+1}\cdots i_p}^{k{j}_1\cdots j_q}$$

$$g_{l{j}_s}{T}_{i_1\cdots i_p}^{j_1\cdots j_q}=T_{i_1\cdots i_{p}l}^{j_1\cdots j_{s-1}{j}_{s+1}\cdots j_q}$$

따라서 우리는 metric만 결정해 내면 $d{x}^i$같은 contravariant 성분도 covariant하게 바꿀 수 있고 반대도 역시 마찬가지다. 만약 $X^i$를 Euclidean이라 하면 metric은 ${\delta }_{ij}$이고,

$$d{r}^2={\delta }_{ij}d{X}^{i}d{X}^j={\delta }_{ij}\frac{\partial X^i}{\partial x^k}\frac{\partial X^j}{\partial x^l}d{x}^{k}d{x}^l=g_{kl}d{x}^{k}d{x}^l$$

이므로, 만약 우리가 embedding function $X^i(x^j)$를 안다면, metric을 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

$$g_{ij}={\delta }_{kl}\frac{\partial X^k}{\partial x^i}\frac{\partial X^l}{\partial x^j},g^{ij}={\delta }^{kl}\frac{\partial x^i}{\partial X^k}\frac{\partial x^j}{\partial X^l}$$