Basic Tensor Calculus (5) - Scalar & Product

이 글은 2020.01.14에 작성됨.

원본 : physvillain.blogspot.com/2020/01/basic-tensor-calculus.html

 

두 벡터의 inner product는 다음과 같이 정의한다.

 

DEF 5.1. The covariant and contravariant scalar products of 2 rank 1 tensors, $\vec{A}$ and $\vec{B}$, are defined as $g^{ij}A_iB_j$ and $g_{ij}A^iB^j$ respectively.

 

이것이 우리가 미적분학에서 했던 내적과 동일한 것이다.

$$\vec{A} \cdot \vec{B} = \sum_{ij} \left( A_{(i)}\hat{e}_{(i)} \right) \cdot \left( B_{(j)}\hat{e}_{(j)} \right) = \sum_{ij} A_{(i)}B_{(j)}\frac{g_{ij}}{h_{(i)}h_{(j)}}=\sum_i \frac{A_{(i)}}{h_{(i)}} \sum_j \frac{g_{ij}B_{(j)}}{h_{(j)}}=A^iB_i$$

 

DEF 5.2. The covariant and contravariant scalar products of 2 rank 2 tensors, $\mathbf{S}$ and $\mathbf{T}$, are defined as $g^{ik}g^{jl}S_{kl}T_{ij}$ and $g_{ik}g_{jl}S^{ij}T^{kl}$ respectively.

 

이런 rank 2 tensor끼리의 scalar product를 colon product라고도 한다. colon product는 마찬가지로 다음이 성립함을 간단하게 보일 수 있다.

$$\mathbf{S} : \mathbf{T} = S^{ij}T_{ij} = \sum_{ij} S_{(ij)} T_{(ij)}$$

 

다음으로 두 tensor의 rank가 일반적으로 다른 경우 (같아도 됨) product 방법 중 inner product는 component 순서대로 곱하는 것이 아닌, 서로 안쪽의 component를 곱해주는 방식이다.

 

DEF 5.3. The inner product btw 2 tensors of any rank is the cotraction of the inner indices, namely the last index if the first tensor and the first index of the last tensor.

 

이 정의에 따르면 $A^jT^i_{\:j}$는 적절히 순서를 바꿔 $T^i_{\:j}A^j$로 맞춰주고 나면 inner product가 된다. 즉, $A^jT^i_{\:j}=T^i_{\:j}A^j=(\mathbf{T} \cdot \vec{A})^i$ 이다. 순서에 주의하자. scalar product를 좀 더 일반화 한 방법이고 그 결과는 일반적으로 scalar가 아니다. 또 이것 역시 당연하게도 physical component로 나타낼 수 있는데,

$$T^i_{\:j}A^j=g_{jk}T^{ik}A^j=\sum_{jk} g_{jk}\frac{T_{(ik)}}{h_{(i)}h_{(k)}} \frac{A_{(j)}}{h_{(j)}}=\frac{1}{h_{(i)}}\sum_{jk} T_{(ik)} A_{(j)} \hat{e}_{(j)} \cdot \hat{e}_{(k)}$$

$$\Rightarrow \;\;\; (\mathbf{T} \cdot \vec{A})_{(i)} = \sum_{jk} T_{(ik)} A_{(j)} \hat{e}_{(j)} \cdot \hat{e}_{(k)}$$

마지막 항은 orthogonal일 때만 $\sum_j T_{(ij)}A_{(j)}$와 같다.