Basic Tensor Calculus (7) - Permutation symbol / tensor (Volume form tensor)

이 글은 2020.01.14에 작성됨.

원본 : physvillain.blogspot.com/2020/01/basic-tensor-calculus.html

 

흔히 잘 알려진 Levi-Civita symbol은 다들 잘 알 것이다. 예시로 3차원 permutation parameter는 다음과 같이 정의한다.

$$\varepsilon_{ijk}=\varepsilon^{ijk}=\begin{cases} 1 & for \; i,j,k \; an \; even \; permutation\; of \; 1,2,3 \\ -1 & for \; i,j,k \; an \; odd \; permutation\; of \; 1,2,3 \\ 0 & if \; any \; of \; i,j,k\; are\; same \end{cases}$$

이것은 당연히 parameter에 불과하므로 tensor가 아니다. 단지 Einstein summation convention을 위해서 위첨자/아래첨자를 가려서 쓴다. 또 관례적으로 epsilon이 아니라 varepsilon을 levi-civita symbol로 사용하고, epsilon은 뒤에서 소개할 levi-civita tensor에 사용한다. varepsilon이 사용되는 대표적인 예시로는 잘 알겠지만 Cartesian에서의 cross product이다.

$$(\vec{A} \times \vec{B})_i = \varepsilon_{ijk}A^jB^k$$

또, matrix $\mathbf{A}$의 determinant $A$를 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$A=\epsilon^{ijk}=\varepsilon^{ijk} A_{1i}A_{2j}A_{3k} \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\; \varepsilon_{pqr}A=\varepsilon^{ijk} A_{pi}A_{qj}A_{rk}$$

위의 두 표현은 서로 동치이다. (조금 생각해보면 동치임을 밝힐 수 있다.) 이것을 higher dimension으로 확장하면 $B=\varepsilon^{i_1i_2 \cdots i_m}B_{1i_1}B_{2i_2}\cdots B_{mi_m}$이다. (B의 rank는 여전히 2이다.)

또 coordinate transformation matrix의 determinant는 Jacobian이고 기호로 다음과 같이 표기한다.

$$\mathcal{J}_{x/\tilde{x}} = \left| \frac{\partial x^i}{\partial \tilde{x}^j} \right| $$

Jacobian과 두 좌표계에서 정의된 동일한 rank 2, 3-dim tensor $\mathbf{A}$와 $\tilde{\mathbf{A}}$사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

 

THM 7.1. If $\mathbf{A}$ and $\tilde{\mathbf{A}}$ are the same rank 2, 3-dim tensor in each of the two coordinate systems, then $\mathcal{J}_{x/\tilde{x}}=\sqrt{\tilde{A}/A}$.

 

$\varepsilon_{pqr}A=\varepsilon^{ijk} A_{pi}A_{qj}A_{rk}$로부터 출발하자.

$$\begin{align*} \varepsilon_{p'q'r'} \tilde{A} & =\varepsilon^{i'j'k'} \tilde{A}_{p'i'} \tilde{A}_{q'j'} \tilde{A}_{r'k'} \\ &=\varepsilon^{i'j'k'} \frac{\partial x^p}{\partial \tilde{x}^{p'}} \frac{\partial x^i}{\partial \tilde{x}^{i'}}A_{pi} \frac{\partial x^q}{\partial \tilde{x}^{q'}} \frac{\partial x^j}{\partial \tilde{x}^{j'}} A_{qj} \frac{\partial x^r}{\partial \tilde{x}^{r'}} \frac{\partial x^k}{\partial \tilde{x}^{k'}} A_{rk} \\ &=\underbrace{\varepsilon^{i'j'k'} \frac{\partial x^i}{\partial \tilde{x}^{i'}} \frac{\partial x^j}{\partial \tilde{x}^{j'}} \frac{\partial x^k}{\partial \tilde{x}^{k'}}}_{\varepsilon^{ijk} \mathcal{J}_{x/\tilde{x}}} A_{pi} A_{qj} A_{rk} \frac{\partial x^p}{\partial \tilde{x}^{p'}} \frac{\partial x^q}{\partial \tilde{x}^{q'}} \frac{\partial x^r}{\partial \tilde{x}^{r'}} \\ &=\underbrace{\varepsilon^{ijk} A_{pi} A_{qj} A_{rk}}_{\varepsilon_{pqr} A} \frac{\partial x^p}{\partial \tilde{x}^{p'}} \frac{\partial x^q}{\partial \tilde{x}^{q'}} \frac{\partial x^r}{\partial \tilde{x}^{r'}} \mathcal{J}_{x/\tilde{x}} \\ &= \underbrace{\varepsilon_{pqr} \frac{\partial x^p}{\partial \tilde{x}^{p'}} \frac{\partial x^q}{\partial \tilde{x}^{q'}} \frac{\partial x^r}{\partial \tilde{x}^{r'}}}_{\varepsilon_{p'q'r'} \mathcal{J}_{x/\tilde{x}}} \mathcal{J}_{x/\tilde{x}} A \\ &= \varepsilon_{p'q'r'} (\mathcal{J}_{x/\tilde{x}})^2 A \end{align*}$$

$$\Rightarrow \;\;\;\;\; \varepsilon_{p'q'r'} \left( \tilde{A} - (\mathcal{J}_{x/\tilde{x}})^2 A \right)=0 \;\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;\; \mathcal{J}_{x/\tilde{x}}=\sqrt{\tilde{A}/A} $$

 

THM 7.2. If $g=\det g_{ij}$ is the determinant of the metric, then the entities $\epsilon^{ijk}=\frac{1}{\sqrt{g}}\varepsilon^{ijk}$ and $\epsilon_{ijk}=\sqrt{g} \varepsilon_{ijk}$ are rank 3 tensors. Each of them is known as the contravariant and covariant permutation tensors.

 

tensor처럼 변환룰이 적용되는지 확인하자.

$$\tilde{\epsilon} \frac{\partial x^i}{\partial \tilde{x}^{i'}} \frac{\partial x^j}{\partial \tilde{x}^{j'}} \frac{\partial x^k}{\partial \tilde{x}^{k'}} = \frac{1}{\sqrt{\tilde{g}}} \varepsilon^{i'j'k'} \underbrace{\frac{\partial x^i}{\partial \tilde{x}^{i'}} \frac{\partial x^j}{\partial \tilde{x}^{j'}} \frac{\partial x^k}{\partial \tilde{x}^{k'}}}_{\varepsilon^{ijk} \mathcal{J}_{x/\tilde{x}}} = \frac{1}{\sqrt{\tilde{g}}} \varepsilon^{ijk} \sqrt{\frac{\tilde{g}}{g}} = \epsilon^{ijk}$$

마찬가지로 covariant permutation도 covariance를 보일 수 있다.

 

사실 이 permutation tensor는 topologically, volume form tensor라고 불리기도 한다. 여기를 참고.