Basic Tensor Calculus (4) - Physical components & Basis vectors

이 글은 2020.01.14에 작성됨.

원본 : physvillain.blogspot.com/2020/01/basic-tensor-calculus.html

 

Unit basis vector $\hat{e}^{(i)}$로 span된 $\mathbb{R}^m$ Euclidean space에 속하는 벡터 $\vec{A}$는 항상 유일한 component-set $A_{(i)}$가 존재하여 다음을 만족함을 알 것이다. (꼭 $\hat{e}^{(i)}$가 orthogonal할 필요는 없다.)

$$\vec{A}=\sum_i A_{(i)}\hat{e}_{(i)}$$

 

DEF 4.1. The weights $A_{(i)}$ in the previous eqn are the physical components of $\vec{A}$ relative to the basis set $\hat{e}_{(i)}$.

 

앞에서도 설명했지만 우리가 지금껏 단위벡터를 기준으로 나타내었던 것들이 모두 physical component이다. 이 성분들은 일반적으로 contravariant하지도 covariant하지도 않다. 굳이 위의 식에서 summation을 넣어 준 것은 Einstein summation의 index matching조건에 맞지 않기 때문이다. $A_{(i)}$는 간단하게 $A_{(i)}=\vec{A} \cdot \hat{e}_{(i)}$로 간단하게 구할 수 있다. 이 성분들을 contravariant한 성분 $A^i$와 $A_{(i)}=h_{(i)}A^i$의 관계를 가진다고 생각하자. (예를 들면 $dr, \: d\theta, \: d\phi$와 같은 것을 생각하자. 위치벡터 성분 자체는 일반적으로 contravariant하지 않다.) 그럼 벡터는 다음과 같이 표현될 수 있을 것이다.

$$\vec{A}=\sum_i h_{(i)} A^i \hat{e}_{(i)}$$

metric을 이용하면 index를 아래로 내릴 수 있으므로 contravariant / covariant components는 각각 physical components와 다음의 관계가 성립한다.

$$A^i=\frac{1}{h_{(i)}}A_{(i)}, \;\;\;\;\;\;\; A_j=\sum_j \frac{g_{ij}}{h_{(i)}}A_{(i)} \;\;\;\;(general)$$

$$A^i=\frac{1}{h_{(i)}}A_{(i)}, \;\;\;\;\;\;\; A_j=h_{(j)}A_{(i)} \;\;\;\;(orthogonal)$$

마찬가지로 higher rank tensor도 아래와 같은 관계가 성립한다.

$$T_{(ij)}=h_{(i)}h_{(j)}T^{ij}=h_{(i)}h_{(j)}g^{ik}T_k^{\:j}=h_{(i)}h_{(j)}g^{jl}T^i_{\:l} = h_{(i)}h_{(j)}g^{ik}g^{jl}T_{kl}$$

이렇게 벡터의 성분을 contravariant, covariant, physical로 나누는 것처럼 basis역시 contravariant, covariant, physical로 나눌 수 있을 것 같다. 먼저 covariant basis vector를 다음과 같이 정의하자.

 

DEF 4.2. Let $\vec{r}_x$ be a displacement vector whose components are expressed in terms of the coordinate system $x^i$. Then the covariant basis vector $\vec{e}_i$ is defined to be $\vec{e}_i \equiv \frac{d\vec{r}_x}{dx^i}$.

 

주의하자. 이것은 $A^i$와 같은 component와 같이 생각하면 안 된다. 서로 다른 basis를 구분짓는 역할을 한다. $\vec{e}_i$가 covariant함은 그 정의로부터 다음과 같이 쉽게 보일 수 있다.

$$\vec{\tilde{e}}_i =\frac{d\vec{r}_{\tilde{x}}}{d\tilde{x}^i}=\frac{\partial x^j}{\partial \tilde{x}^j} \frac{d\vec{r}_x}{dx^i}=\frac{\partial x^j}{\partial \tilde{x}^j} \vec{e}_i$$

앞서 $d\vec{r}=\sum_{i} h_{(i)}dx^i \hat{e}_{(i)}$라 했으므로 DEF 4.2.로부터 physical basis와 covariant basis의 관계를 얻을 수 있다. 또한 metric과 결합하여 contravariant basis를 정의하면 contravariant basis와 physical basis사이의 관계 역시 얻어진다.

$$\vec{e}_i = h_{(i)} \hat{e}_{(i)}, \;\;\;\;\;\; \vec{e}^j=\sum_{i} g^{ij} h_{(i)}\hat{e}_{(i)}\;\;\;\;(general)$$

$$\vec{e}_i = h_{(i)} \hat{e}_{(i)}, \;\;\;\;\;\; \vec{e}^j= \frac{1}{h_{(j)}} \hat{e}_{(j)}\;\;\;\;(orthogonal)$$

 

세 가지 종류의 basis중에 유일하게 physical basis만 unit vector이고 따라서 hat표시를 한 것이 보이는가? 크기가 1이므로 physical basis만이 세 종류의 basis중 유일하게 unitless이다. covariant basis는 $h_{(i)}$의 unit, contravariant basis는 $h_{(i)}^{-1}$의 unit을 갖는다. basis를 이렇게 잡으면 직교관계도 자명해진다.

 

THM 4.1. Regardless of whether the coordinate system is orthogonal, $\vec{e}_i \cdot \vec{e}^j = \delta_i^{\:j}$.

 

증명은 매우 간단하다.

$$\vec{e}_i \cdot \vec{e}^j = h_{(i)} \hat{e}_{(i)} \cdot \sum_k g^{kj} h_{(k)} \hat{e}_{(k)} = g^{kj} g_{ik} = \delta_i^{\:j}$$

또 metric의 정의로부터 $g_{ij}=\vec{e}_i \cdot \vec{e}_j$, $g^{ij}=\vec{e}^i \cdot \vec{e}^j$이다.

 

또 한가지 중요한 것은 이제 vector를 physical form이 아니라 contravariant $\times$ covariant의 꼴로 나타낼 수 있다는 것이다.

$$\vec{A}=\sum_i A_{(i)}\hat{e}_{(i)} = \sum_i h_{(i)} A^i \frac{1}{h_{(i)}} \vec{e}_i = A^i \vec{e}_i$$

$$\vec{A}=\sum_i A_{(i)}\hat{e}_{(i)} = \sum_i h_{(i)} g^{ij}A_j \frac{g_{ik}}{h_{(i)}} \vec{e}^k = \delta^j_{\:k}A_j\vec{e}^k=A_j \vec{e}^j$$

성분의 위치가 위든 아래든 성분을 구하는 방법은 마찬가지 $A_i=\vec{A}\cdot \vec{e}_i$와 같이 구할 수 있다.

 

Intro에서 언급했던 것을 기억해보자. $d\vec{r} = (dr,\:rd\theta,\:r\sin{\theta}d\phi)$과 같이 표현한 것은 physical basis에서 나타낸 physical component이고, $d\vec{r} = (dr,\: d\theta,\: d\phi)$라고 적은 것은 그저 좌표계만 덜렁 올려놓은 contravariant component에 covariant basis이다. 잘 쓰지는 않으나 $d\vec{r} = (dr,\: r^2 d\theta,\: r^2 \sin^2{\theta} d\phi)$와 같이 covariant성분에 contravariant basis를 사용해도 무방하다. 즉 vector 자체는 covariant와 contravariant의 결합이므로 좌표계에 따라 불변이다. 그 성분만이 basis에 따라 변할 뿐이고, 좌표변환에 대한 변환 룰에 따라 covariant, contravariant가 결정될 뿐인 것이다.